终于搞明白置换了，可喜可贺。建议不要看屈的离散数学，看白书即可，通俗易懂。

我在这里简单阐述一下，当然也是依据李大大的书。

置换

置换就是把n个元素全排列，置换可以定义乘法。

循环就是置换的移位。例如：

1 2 3 4 5
3 5 1 4 2

即为(1 3)(2 5)(4)

其中，(1 3)通过这个置换发现形成一个循环，(2 5)通过这个置换形成一个循环，(4)本身构成一个循环。

不动点

对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，则称s为f的不动点，将f的不动点记录为C(f)，则可证明等价类数目为所有C(f)的平均值，成为Burnside引理。

Polya定理

一般的，如果f分解成m(f)个循环的乘积，那么每个循环的所有格子的颜色必须相同。（因为这样才是一个不动点）。

假设涂k种颜色，则有

$$C(f) = k^{m(f)}$$

（乘法原理。循环内相同，循环间可以不同）。

代入Burnside引理之后得到Polya定理：等价类的个数等于所有置换f的$k^{m(f)}$的平均数。